Глава 3. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

3.1. Понятие функции двух переменных

Пусть заданы два непустых множества D и E. Если каждой паре значений (x, y) из данной области D соответствует определенное единственное значението переменная z называется функцией двух переменных, а x и y называются независимыми переменными, или аргументами. Область D называется областью определения функции, множество

- множеством значений функции. Обозначение функции двух переменных: z = f (x, y), или z = F (x, y), или z = z (x, y).

Частным значением функции z = f (x, y) называют число, соответствующее какой-либо определенной паре значений аргументов.

Для обозначения частного значения функции z = f (x, y) при x = x₀ и

y=y0 употребляется символили, что то же самое,. Каж-

дая пара значений аргументов (x, y) геометрически определяет точку Р на плоскости xOy, а значение функции в этой точке есть аппликата z пространственной точки М (x, y, z). Геометрическое место всех точек М есть поверхность, взаимно однозначно проецирующаяся в область D на плоскости xOy (рис. 3.1). Эта поверхность служит геометрическим изображением (графиком) функции f (x, y).

Определение. Переменная величина U называется функцией независимых переменных если каждой системе значений (x₁, этих переменных из данной области их изменения соответствует единственное значение величины U. Обозначение:

или

и т. д.

В случае функции трех переменных пишуткаж-

Рис. 3.1. Изображение функции двух переменных в трехмерном пространстве

Рис. 3.2. Круговой конус

дая система (x, y, z) значений аргументов определяет некоторую точку М трехмерного пространства.

Пример 1. Выразить объем кругового конуса V как функцию его образующей x и радиуса основания y.

Решение. Объем кругового конуса (рис. 3.2) равен одной трети

произведения площади основания

S на высоту h. Так как S = πy²,

Это и есть искомая функция.

Пример 2. Найти частное значение функциив

точке Р (2; -1). Решение.