Поиск
Озвучить текст Озвучить книгу
Изменить режим чтения
Изменить размер шрифта
Оглавление
Для озвучивания и цитирования книги перейдите в режим постраничного просмотра.

Глава 5. Неопределенный интеграл

§ 5.1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

В предыдущих главах мы рассматривали производную функции y = f(x). Часто в математике, физике и других науках возникает обратная задача - найти функцию y = f (x), если дана ее производная f (x). Введем сначала новое понятие первообразной функции.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f (x), определенной на некотором интервале (a, b), если для всех x, принадлежащих этому интервалу, выполняется равенство F' (x) = f(x). (5.1)

Если функция F(x) дифференцируема на интервале (a, b), непрерывна на отрезке [a, b] и для всех x ε (a, b) выполняется равенство (5.1), то функцию F(x) называют первообразной для функции/(x) на отрезке [a, b].

Пример 5.1. Показать, что функция является первообразной функции f (x) = x2.

Решение. Действительно, для всех x ε (-∞, +∞)

Однако нетрудно видеть, что, например, функция так-

же является первообразной функции f(x) = x2, поскольку

Более того, любая функция видагде C - произвольная постоянная,

является первообразной той же функции f (x) = x2.

На рассмотренном примере мы видим, что у функции существует бесконечное число первообразных. Таким образом, мы приходим к понятию неопределенного интеграла.

Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x)dx, определенной на интервале (a, b), называется совокупность всех первообразных этой функции на рассматриваемом интервале:

Здесь- неопределенный интеграл; F(x) - одна из первообразных функцииf (x);

C - произвольная постоянная, называемая постоянной интегрирования; аргумент x называется переменной интегрирования.

Функция f (x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением. Заметим здесь, что писать дифференциал dx под знаком интеграла необходимо.

Для продолжения работы требуется Регистрация
На предыдущую страницу

Предыдущая страница

Следующая страница

На следующую страницу
Глава 5. Неопределенный интеграл
На предыдущую главу Предыдущая глава
оглавление
Следующая глава На следующую главу