Поиск
Озвучить текст Озвучить книгу
Изменить режим чтения
Изменить размер шрифта
Оглавление
Для озвучивания и цитирования книги перейдите в режим постраничного просмотра.

Глава 6. Определенный интеграл

§ 6.1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Рассмотрим стачала понятие криволинейной трапеции и определение ее площади. Пусть дана неотрицательная функция y = f (x), непрерывная на конечном отрезке [a, b] (напомним, что отрезком [a, b] называется промежуток, включающий в себя крайние точки x = a и x = b). График функции в общем случае изображен на рис. 6.1.

Фигура, ограниченная графиком функции y = f (x), осью 0x и вертикальными прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией. На рис. 6.1 изображена криволинейная трапеция abCD.

Произведем такую последовательность действий.

Рис. 6.1. Криволинейная трапеция abCD. Геометрическая иллюстрация интегральной суммы и определенного интеграла

1. Отрезок [a, b] разобьем на n частей (не обязательно равных) точками, x0 = a, x1, x2, ... , xn = b. Каждый из полученных малых отрезков [x0, x1], [x1, x2], [xn - 1, xn] назовем частичным отрезком.

2. На каждом частичном отрезке [xi - 1, xi] возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в этой точке f (с).

3. Построим прямоугольники, основаниями которых служат частичные отрезки [ x/ - 1, x/], а высоты равны значениям функции в точках С/, т. е. f(ci), и вычислим их площади, равные f(ci) ? Δxi, где Δxi - длины соответствующих частичных отрезков.

Будем понимать под площадью S криволинейной трапеции предел, к которому стремится суммарная площадь прямоугольников при стремлении к нулю длины максимального из частичных отрезков:

где Δx1, Δx2, ... , ΔAxn - длины соответствующих частичных отрезков. Большая греческая буква Σ («сигма») с индексами i = 1 снизу и n сверху означает суммирование, т. е. мы составляем сумму из слагаемый f(сi) Δxi, подставляя в них последовательно i = 1, i = 2, i = n. Это и представлено в равенстве (6.1). Такое обозначение суммы используется в математике для краткости. Можно писать что-либо одно, т. е. либо использовать знак суммирования Σ, либо писать среднюю часть формулы (6.1) (как говорят, раскрыть знак суммирования).

Для продолжения работы требуется Регистрация
На предыдущую страницу

Предыдущая страница

Следующая страница

На следующую страницу
Глава 6. Определенный интеграл
На предыдущую главу Предыдущая глава
оглавление
Следующая глава На следующую главу