Поиск
Озвучить текст Озвучить книгу
Изменить режим чтения
Изменить размер шрифта
Оглавление
Для озвучивания и цитирования книги перейдите в режим постраничного просмотра.

Глава 7. Дифференциальные уравнения

§ 7.1. ПОНЯТИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

При описании многих процессов в физике, химии, биологии и других науках, а также при решении многих математических задач используются уравнения, содержащие производные функций. Например, второй закон Ньютона в случае прямолинейного движения тела имеет вид

ma = F,

где m - масса тела; a - ускорение; F - сила, действующая на тело. Вспоминая физический смысл второй производной (§ 2.4), записываем это уравнение в следующем виде:

где x - координата тела, которая является функцией времени x = x(t). Уравнения такого типа относятся к дифференциальным уравнениям. Вид функции x = x(t) может быть найден путем решения дифференциального уравнения (7.1) для определенной силы F и при некоторых дополнительных условиях. Перед рассмотрением способов решения таких уравнений приведем несколько общих определений.

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию y = f (x), ее аргумент x и производные (или дифференциалы) функции разных порядков.

Обыкновенное дифференциальное уравнение в общем виде может быть записано следующим образом:

F(x, y, y, y", y(n)= 0,

где F - некоторое соотношение, связывающее x, y и производные различных порядков.

Например, уравнение

y = xy

является обыкновенным дифференциальным уравнением, поскольку содержит производную y'. Дифференциальное уравнение может не содержать аргумент x или функцию у, но обязательно должно содержать какую-либо производную или дифференциал.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, дифференциальное уравнение

У = xy

является уравнением первого порядка, так как содержит производную первого порядка у', а уравнение

у'' - 2у' + 6у = 0

является дифференциальным уравнением второго порядка.

Решением алгебраических уравнений (например, квадратного уравнения Δx2 + bx + c = 0, где a, b и c - постоянные) являются некоторые значения аргумента x, т. е. числа. Решением дифференциального уравнения является функция.

Для продолжения работы требуется Регистрация
На предыдущую страницу

Предыдущая страница

Следующая страница

На следующую страницу
Глава 7. Дифференциальные уравнения
На предыдущую главу Предыдущая глава
оглавление
Следующая глава На следующую главу